猫がネズミを追いかける

にゃー

見事ネズミを捕まえました。

いや、大半に逃げられてるでしょ。


ネズミがたくさんいるおかげで、
猫は、大半のネズミを逃がしても食糧に困りません。

もし世の中にねずみが一匹しかいなかったら

猫はそのネズミを捕まえるまで、どこまででも追いかけないといけない。

しかも、猫はその一匹のネズミを捕まえられなかったら死んでしまう。

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＜たくさんのネズミ＞

目の前にいる一匹のネズミを捕まえる確率を、仮に20%としよう。

目の前にネズミが10匹いれば、９０％の確率でネズミを捕まえることができる。

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＜たくさんの猫＞

先ほどと同様、目の前にいる一匹のネズミを捕まえる確率を、仮に20%としよう。

ネズミの前に猫が10匹いて、その中の一匹がネズミを捕まえる確率は、

つまり、ネズミが１０匹いるのと猫が１０匹いるのでは、
猫が一匹以上生き残る確率としては、同じだったりする。

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仮に目の前にいるのが二匹なら、

猫が5匹いればよい。

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この猫は特別です。
他の猫より２倍の期間、ネズミを捕れなくても長生きできます。

すると、猫が同じ確率生き残るために必要なネズミの数は半分でよくなる。

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この猫はさらに特別です。
他の猫より５倍の期間、ネズミを捕れなくても長生きできます。

すると、必要なネズミの数は５分の１でよくなる。

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この猫は特別です。
他の猫より２倍の確率(すなわち40%) で、ネズミを捕れます。

すると、必要なネズミの数は４匹でよくなる。

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どれも、 90%の確率で、猫が最低一匹生き残る。

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目の前にネズミが二匹いる。

猫が生き残る確率は、ネズミが一匹の状態に比べ、どの程度高いのだろうか？

どうも確率そのを比較しても直感的ではない。

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そこで、確率に対して対数などを使った基底変換を行い、新しい指標を作る。

ネズミが一匹増えるごとに、生存指標がa(=0.321)ずつ上がっていく。

この指標はエントロピーと呼ばれる。
まあ、基本的には確率のようなものである。

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＜猫の数を増やす場合＞

今度は、ネズミの周りに猫が二匹いる。

猫が一匹以上生き残る確率は、猫が一匹の状態に比べ、どの程度高いのだろうか？

エントロピーで比較する。
先ほどのネズミが増えるケースと、今回の猫が増えるケースでは、
確率の増え方もエントロピーの増え方も全く同じ。


本質的に、ネズミが増える場合と、猫が増える場合で、
猫一匹が生き残る確率は変わらない。

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ネズミが二匹いるときに、
猫が増えるときはどうか？

猫とネズミを掛け合わせた数が同じであれば、
エントロピーは同じ。

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長生きの猫。
他の猫より２倍の期間、ネズミを捕れなくても長生きできる。

ネズミと猫と、猫の寿命を掛け合わせた数が同じであれば、
エントロピーは同じ。

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この猫は特別です。
他の猫より２倍の確率(すなわち40%) で、ネズミを捕れます。

エントロピーが等しい、すなわち、
猫が一匹以上生き残る確率は同じ